rongphuongdong
10-07-2009, 09:32 PM
Bài 5: (1 điểm)
Với mỗi số k nguyên dương, đặt S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+(\sqrt{2}-1)^{k}
Chứng minh rằng S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_{n}
Lời giải:
Ta có \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}
Do đó S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}
Đặt t=\sqrt{2}+1.
Suy ra S_{k}=t^{k}+\frac{1}{t^{k}
\Rightarrow S_{m}.S_{n}=(t^{m}+\frac{1}{t^{m}})(t^{n}+\frac{1} {t^{n}})
=t^{m+n}+\frac{1}{t^{m+n}}+t^{m-n}+t^{n-m}
=t^{m+n}+\frac{1}{t^{m+n}}+t^{m-n}+\frac{1}{t^{m-n}}
=S_{m+n}+S_{m-n}
Với mỗi số k nguyên dương, đặt S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+(\sqrt{2}-1)^{k}
Chứng minh rằng S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_{n}
Lời giải:
Ta có \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}
Do đó S_{k}=(\sqrt{2}+1)^{k}+\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{k}}
Đặt t=\sqrt{2}+1.
Suy ra S_{k}=t^{k}+\frac{1}{t^{k}
\Rightarrow S_{m}.S_{n}=(t^{m}+\frac{1}{t^{m}})(t^{n}+\frac{1} {t^{n}})
=t^{m+n}+\frac{1}{t^{m+n}}+t^{m-n}+t^{n-m}
=t^{m+n}+\frac{1}{t^{m+n}}+t^{m-n}+\frac{1}{t^{m-n}}
=S_{m+n}+S_{m-n}